L'Arithmétique. Une introduction ludique. Tome III

L'arithmétique classique existe depuis l'Antiquité, et s'est développée tout
au long des siècles. Pierre de Fermat l'a marquée de son empreinte. Gauss a
beaucoup développé l'arithmétique modulaire notamment avec les notions de
congruences, de résidu quadratique, etc. et a démontré de nombreuses
propriétés dans ce domaine. Pendant environ deux siècles, cette discipline
s'est développée sans aucune application concrète. La seconde moitié du XXe
siècle a elle été caractérisée par l'arrivée de nombreuses applications dont
la cryptographie et, dans une moindre mesure, les techniques de codes
correcteurs d'erreurs qui sont maintenant très utilisées en transmission.
Cette arithmétique s'est immiscée un peu sournoisement dans notre vie courante
: numéro de sécurité sociale, transmissions sécurisées par Internet pour les
transferts d'argent, et bien d'autres choses encore. Divers problèmes amusants
se traitent assez facilement avec ces techniques. L'arithmétique modulaire
tome III est également utilisée pour démontrer des propriétés de
l'arithmétique classique, ce qui explique les liens entre ces trois tomes
complémentaires. Ce tome III présente de nombreuses notions : les congruences,
les polynômes en arithmétique modulaire, les résidus quadratiques, cubiques et
biquadratiques, les symboles de Legendre et de Jacobi, les racines primitives,
le logarithme discret, les équations en arithmétique modulaire, les grands
nombres premiers et pseudo-premiers et une ouverture vers la cryptographie.
Cette discipline est souvent présentée sous une forme difficile à assimiler,
et même parfois rebutante, en partie à cause du vocabulaire utilisé et en
grande partie par la quasi-absence d'exemples et d'exercices. Pour ces
raisons, l'auteur a délibérément choisi de privilégier l'aspect pédagogique
avec de nombreux exemples et exercices corrigés quitte à omettre certaines
démonstrations trop longues ou trop difficiles.